КАКАЯ, К ЧЕРТУ, СЕНСАЦИЯ?

Вы правы в том, что в приведённом решении есть ошибка
(поспешишь - людей насмешишь, а я такие задачи, признаться, далеко не каждый день решаю).
Если это и косяк СТО, то только в том, что эта теория имеет дело с неочевидными явлениями,
(вспоминаем опыт Ампера с 2-мя проводами, по которым идёт одинаковый ток в одном направлении
http://school-collection.edu.ru/catalog/res/1e3e3669-b9d5-4b09-8d12-1807... ).
с явлениями, я подчёркиваю красным, о которых механика Ньютона-Галилея знать не знает.
Более того, вы должны иметь в виду, что механика Ньютона оперирует сигналами,
распространяющимися с бесконечной скоростью, но в природе таких сигналов не зафиксировано.
Даже свет, который по Библии был сотворён в день первый - имеет предел скорости ~ 300000км/с в вакууме.
Подумайте об этом хорошенько.
.
Если вы физик, то вам должно быть известно, что энергия - это не просто абстрактная переменная,
она имеет размерность работы, кроме того, через неё записывается закон сохранения энергии,
а через импульс - закон сохранения импульса.
Эти два закона - альфа и омега физики.
Если мы хотим правильно решать физические задачи,
мы должны стремиться записать наши уравнения через эти величины.
.
Но вначале немного теории
(типа чтобы прояснить что откуда берётся,
а потом будет решение задачи, на сей раз провильное - на основе нижележащей теории).
.
Возьмём 4-вектор R=[c*t, r], скалярное произведение которого записывается через вот такую сумму:
{R, R} = (c*t1)*(c*t2)-(r1,r2), где (,) - оператор обычного скалярного произведения,
а {,} - оператор скалярного произведения четырёх-векторов.
Почему такие выкрутасы? а вот почему: скалярное произведение обычного вектора,
как мы знаем из школьного курса геометрии - не зависит от прямоугольной системы координат, т. е. инвариант.
Но у нас система координат-времени (ИСО - инерциальная система отсчёта) не обычная, преобразования такой ИСО - лоренцевы:
c*t = Г(V)*((c*t') + (V/c) * x' ), (1)
x = Г(V)*( x' + (V/c) * (c*t')) (2)
y = y'
z = z'
где Г(V) = sqrt(1 - (V/c)^2), а скорость V - скорость ИСО, не путать со скоростью частицы
.
если обобщить, то можно написать обобщённые преобразования 4-вектора
(при переходе наблюдателя из ИСО в ИСО'):
А0 = Г(V)*( А0' + (V/c) * А1'), (3)
А1 = Г(V)*( А1' + (V/c) * А0') (4)
А2 = А2' (5)
А3 = А3' (6)
.
Иными словами, параллельным переносом и вращением здесь и не пахнет
- отсюда сложности с пониманием
(в ньютоновской-то механике сигнал - бесконечно быстр,
массы сохраняются и преобразования координат не затрагивают время).
.
Однако, появляется вот такой инвариант: S^2 = (c*t)^2 - r^2
- это расстояние от начала координат до события (t, r)
(доказательства - легко найти, можно и самому поупражняться)
для бесконечно малого расстояния dS имеем:
dS = sqrt(c^2*dt^2 - dr^2) = (с*dt)^2*(1 - ((dr/dt)/c)^2)
dS = (с*dt)^2*(1 - (v/c)^2) = (с*dt)^2* г(v) - это, как нетрудно догадаться - тоже инвариант
(здесь v и г - маленькие, т.к. это скорость и Г-фактор частицы, а не ИСО)
в ИСО, связанной с мгновенной скоростью частицы (ИСО с такой же скоростью и с частицей в начале координат)
dr = 0 и dt'=dт - собственное время частицы:
dт = dt'/г(0) = dt/г(v) (7)
.
Далее возьмём dR/dт = [(c*dt)/dт, (dr)/dт] - это так же 4-вектор,
поскольку мы 4-вектор дифференцируем по инварианту (грубо говоря - скаляру),
посмотрим, что получится (хотя по размерности ясно, что 4-скорость):
dR/dт = [(c*dt)/dт, (dr)/dт] = [c*(dt/dт), (dr/dt)*dt/dт]
(7)
dR/dт = [с*г(v), v*г(v)] (7.1)
Что нам это даёт? А вот что: раз это 4-вектор, то для него верно (3)-(6), то есть:
.
с * г(v) = Г(V)*((с * г(v')) + (V/c) * (vX'* г(v')) ) (8)
vX * г(v) = Г(V)*((vX'* г(v')) + (V/c) * (с * г(v')) ) (9)
vY * г(v) = vY' * г(v') (10)
vZ * г(v) = vZ' * г(v') (11)
где v = |(vX, vY, vZ)| - модуль вектора скорости частицы в ИСО (v' - аналогично в ИСО')
.
(8)->
с * г(v) = Г(V)*((с * г(v')) + (V/c) * (vX' * г(v')) ) =
с * г(v) = Г(V)* г(v') * (с + (V/c) * vX' ) =>
г(v)/г(v') = Г(V)* (1 + (V/c^2) * vX' ) (12)
.
(9)
vX * г(v)/г(v') = Г(V)*(vX' + (V/c) * с )
(12)
vX * Г(V)* (1 + (V/c^2) * vX' ) = Г(V)*(vX' + V )
vX * (1 + (V/c^2) * vX' ) = (vX' + V )
vX = (vX' + V ) / (1 + (V/c^2) * vX' ) (13)
Опаньки, узнаём? Это нежно любимое вами лоренцово сложение скоростей, значит мы на верном пути.
Можете проверить - взять честную производную dx/dt = vX
.
(10)
vY * г(v)/г(v') = vY'
(12)
vY * Г(V)* (1 + (V/c^2) * vX' ) = vY'
vY = vY' /[ Г(V)* (1 + (V/c^2) * vX' ) ] (14)
vZ = vZ' /[ Г(V)* (1 + (V/c^2) * vX' ) ] (15)
.
Давайте теперь попробуем и умножим четырёх-скорость на массу покоя частицы (т.е. скаляр)
(7.1)
m*dR/dт = [с*m*г(v), v*m*г(v)] (16) - получилось? Получился 4-импульс! То что нужно настоящему физику.
(вспоминаем закон сохранения импульса и энергии)
Заметим, что с*m*г(v) = Е/с - полная энергия движущейся частицы,
проверим это утверждение, взяв v << c:
Е/с = с*m*г(v) (17)
Е/с = с*m / sqrt( 1 - (v/c)^2 ) ~
(чешем в затылке и вспоминаем ряды Тейлора, а если сделать лицо попроще,
то сойдёт и приближение (1 + a*x)^n ~ 1 + n*a*x при |a*x| << 1)
Е/с ~ c * m * (1 + (-1/2)*(-1)*(v/c)^2 )
Е ~ m * c^2 * (1 + 1/2*(v/c)^2 )
Е ~ (m * c^2 + m*v^2/2 )
второе слагаемое - это классическая кинетическая энергия.
А вот первое - энергия покоя.
Фактически, утверждение Е=m*c^2 означает, что если покоящуюсю частицу (с массой m) хорошенько бомбануть,
то от неё останется одно гамма-излучение с энергией E ( которое, в свою очередь, просто рассеется, нагрев окружение) -
что прекрасно согласуется с экспериментами на ускорителях, ядерщики не дадут соврать.
Кстати, закон сохранения теперь выглядит иначе:
Sum(Eiд, i=1..N) = Sum(Eiп, i=1..M) (д=до взаимодействия, п=после, N!=M в общем случае, и масса не сохраняется)
.
p = v*m*г(v) (18)
p = = v*m / sqrt( 1 - (v/c)^2 ) ~ v * m * (1 + 1/2*(v/c)^2 ) ~ m*v - классический импульс (при v << c)
Sum(piд, i=1..N) = Sum(piп, i=1..M) - закон сохранения импульса
.
(16)-(18) -> (3)-(6)
E/с = Г(V)*( E'/с + (V/c) * p' ), (19)
pX = Г(V)*( pX' + (V/c) * E'/с) (20)
pY = pY'
pZ = pZ'
вот эти формулы мы и будем теперь использовать для пересчёта импульса и энергии при переходе из одной ИСО в другую
А и инвариант: (с*m*г(v))^2 - (v*m*г(v))^2 = (с*m*г(0))^2 - 0
m^2*c^2 = (E/c)^2 - p^2 (19)
удобная формула, для фотона, например, m=0 => p = E/c
(что логично: если бы фотон обладал массой, он имел бы бесконечную энергию,
т.к. фотон есть свет и летит со световой скоростью)

Итак, вернёмся к задаче и по-честному запишем все уравнения до столкновения и после (а не как в прошлый раз):
До столкновения.
Eд1/с = Г(vд1)*( Eд1'/с + (vд1/c) * pд1' ), (20)
pд1 = Г(vд1)*( pд1' + (vд1/c) * Eд1'/с) (21)
pд1 = vд1*m*г(vд1) (22)
по условию V = vд1 => pд1' = 0 (23)
Eд2/с = Г(vд1)*( Eд2'/с + (vд1/c) * pд2' ), (24)
pд2 = Г(vд1)*( pд2' + (vд1/c) * Eд2'/с) (25)
pд1 = - pд2 (по условию) (26)
Eд1/с = Eд2/с ((19)->(26)) (26.1)
.
После столкновения
Eп/с = Г(vд1)*( Eп'/с + (vд1/c) * pп' ), (27)
pп = Г(vд1)*( pп' + (vд1/c) * Eп'/с) (28)
Система уравнений (27)-(28) - для одного тела, т.к. тело после столкновения - одно (по условию)
.
Мы пока не будем писать что pп=0, а вычислим это из того что знаем о движении в ИСО'
(мы знаем из (26), что pд1 = - pд2, т.е. pд1 + pд2 = 0,
а вычислениями проверим, не нарушают ли наши преобразования закон сохранения импульса,
который, очевидно, должен быть верен во всех ИСО)
.
Итак, поехали:
(23) -> (20)-(21)
Eд1/с = Г(vд1)*( Eд1'/с + (V/c) * 0 )
Eд1 = Г(vд1)* Eд1' (29)
pд1 = Г(vд1)*( 0 + (vд1/c) * Eд1'/с)
pд1 = Г(vд1)*(vд1/c^2) * Eд1' (30)
(19) => Eд1' = sqrt(m^2*c^4 + pд1'^2) = m*c^2 ( первая частица покоится в ИСО' - у неё только энергия покоя)
(19) -> (30)
pд1 = Г(vд1)*(vд1/c^2) * m*c^2 = Г(vд1)*vд1 * m (31) ( что в общем-то и так ясно из определения релятивистского импульса)
(26), (31) -> (25)
pд2 = Г(vд1)*( pд2' + (vд1/c) * Eд2'/с)
-Г(vд1)*vд1 * m = Г(vд1)*( pд2' + (vд1/c) * Eд2'/с)
-vд1 * m = ( pд2' + (vд1/c) * Eд2'/с) (32)
(29) - > (26.1) -> (19) -> (24)
Eд1/с = Г(vд1)* Eд1'/c = Eд2/с = Г(vд1)*( Eд2'/с + (vд1/c) * pд2' )
Eд1'/c = ( Eд2'/с + (vд1/c) * pд2' )
Eд1' = ( Eд2' + vд1 * pд2' )
m*c^2 = ( Eд2' + vд1 * pд2' ) (33)
[(33) - vд1*(32)]
m*c^2 + vд1^2 * m = Eд2'(1 - (vд1/c)^2)
Eд2' = m*c^2*[(c^2 + vд1^2)/(c^2 - vд1^2)] (34)
(34)->(33)
m*c^2 = ( Eд2' + vд1 * pд2' )
pд2' = (m*c^2 - Eд2')/vд1 = (m*c^2 - m*c^2*[(c^2 + vд1^2)/(c^2 - vд1^2)])/vд1
pд2' = m*c^2*(1 - [(c^2 + vд1^2)/(c^2 - vд1^2)])/vд1
pд2' = m*c^2 *(-2*vд1^2/(c^2 - vд1^2))/vд1
pд2' = -2*m*vд1/(1 - (vд1/c)^2))
"В системе отсчёта, связанной с одним из тел, будет двигаться только другое тело. Какова будет его скорость? И каков будет его импульс?"
ответ на 2-й вопрос: pд2' = -2*m*vд1/(1 - (vд1/c)^2)) (35)
Ответ логичный: если vд1< (18)
pд2' = vд2'*m*г(vд2') (36)
(13) =>
vX' = (vX - V) / (1 - (V/c^2) * vX )
vX = -vд1, V = vд1 (по условию)
vX' = vд2'
vд2' = (-vд1 - vд1) / (1 - (vд1/c^2) * (-vд1) )
vд2' = -2*vд1 / (1 + (vд1/c)^2) (37) - Собственно, это ответ на 1-й вопрос
(37) -> (36)
pд2' = vд2'*m*г(vд2') =
pд2' = (-2*vд1 / (1 + (vд1/c)^2))*m*г(-2*vд1 / (1 + (vд1/c)^2)) =
pд2' = (-2*vд1 / (1 + (vд1/c)^2))*m*1/sqrt(1 - (-2*vд1 / (1 + (vд1/c)^2))^2/c^2)=
pд2' = (-2*vд1)*m/sqrt((1 + (vд1/c)^2)^2 - (-2*vд1)^2/c^2)=
pд2' = (-2*vд1)*m/sqrt(1 + 2*(vд1/c)^2 + (vд1/c)^4 - 4*(vд1/c)^2) =
pд2' = (-2*vд1)*m/sqrt(1 - 2*(vд1/c)^2 + (vд1/c)^4) =
pд2' = (-2*vд1)*m/sqrt((1 - (vд1/c)^2)^2) =
pд2' = -2*m*vд1/(1 - (vд1/c)^2)
ЧТД.
.
"С какой скоростью будет двигаться эта система? И какой будет у неё импульс?"
Ед1' + Ед2' = Еп' (38)(Закон сохранения энергии, где тело после столкновения - одно )
рд1' + рд2' = рп' (39)(Закон сохранения импульса - аналогично)
рд1' = 0, Ед1' = m*c^2 (тело покоится)
Eд2' = m*c^2*[(c^2 + vд1^2)/(c^2 - vд1^2)] (из (34))
рд2' = -2*m*vд1/(1 - (vд1/c)^2) (из 35)
Что ж, у нас почти всё есть, давайте подсчитаем:
рп' = рд1' + рд2' = 0 + -2*m*vд1/(1 - (vд1/c)^2) = -2*m*vд1/(1 - (vд1/c)^2) (40)
Это ответ для импульса в ИСО', давайте выясним, чему будет равен импульс в ИСО.
Еп' = Ед1' + Ед2' = m*c^2 + m*c^2*[(c^2 + vд1^2)/(c^2 - vд1^2)]
Еп' = m*c^2*(1 + [(c^2 + vд1^2)/(c^2 - vд1^2)]) = m*c^2*(2*с^2/(c^2 - vд1^2)) (41)
(40), (41) -> (28)
pп = Г(vд1)*( pп' + (vд1/c) * Eп'/с) =
pп = Г(vд1)*( -2*m*vд1/(1 - (vд1/c)^2) + (vд1/c) * (m*c^2*(2*с^2/(c^2 - vд1^2)) )/с) =
pп = Г(vд1)*( -2*m*vд1/(1 - (vд1/c)^2) + (vд1 ) * (m *(2*с^2/(c^2 - vд1^2)) ) ) =
pп = Г(vд1)*( -2*m*vд1*c^2/(c^2 - vд1^2) + vд1* (m*(2*с^2/(c^2 - vд1^2)) ) ) = 0
Итак, pп = 0, а т.к. M>0, то vп = 0 в ИСО
Очевидно, что в ИСО' система будет двигаться со скоростью -vд1 после столкновения